Cauchys integralkriterium används för att avgöra om oändliga serier konvergerar eller divergerar. Serier är ofta svåra att analysera direkt. Integraler är ofta lättare. Förutsättningar: En funktion f är på intervallet \(x \ge 1\). Påstående: Då gäller att serien $$ \sum_{k=1}^\infty f(k) $$ konvergerar om och endast om integralen $$ \int_1^{\infty} f(x)\, dx $$ konvergerar. Intuition…

Förutsättning: En funktion f är kontinuerlig på intervallet \([a,b]\). Påstående: Då är f integrerbar över intervallet \([a,b]\). M.a.o. kontinuitet garanterar att arean under kurvan kan definieras entydigt. Observera Kontinuitet är tillräckligt men inte nödvändigt: alla diskontinuerliga funktioner är inte ointegrerbara.

Insättningsformeln är analysens huvudsats uttryckt som en beräkningsregel. Man kan se den som analysens huvudsats tillämpad baklänges. Förutsättningar: Påstående: Då gäller att $$ \int_a^b f(t)\,dt = F(b) – F(a). $$ Vad säger satsen i ord? Om vi vill beräkna den bestämda integralen från a till b för funktionen f så kan vi göra det genom…

Förutsättningar: En funktion f är kontinuerlig på intervallet \([a,b]\). Påstående: Då finns ett tal \(c \in [a,b]\) så att $$ \int_a^b f(x)\,dx = f(c)(b-a). $$

Analysens huvudsats knyter ihop differentialkalkyl (derivator) och integralkalkyl (integraler). Förutsättningar: En funktion f är kontinuerlig på intervallet [a,b]. Konstruktion: Vi definierar funktionen $$ F(x) = \int_a^x f(t)\,dt, \quad x \in [a,b]. $$ Påstående: Då gäller att F är deriverbar med $$ F'(x) = f(x), \quad x \in (a,b). $$ Vad säger satsen i ord? Om…