Cauchys integralkriterium används för att avgöra om oändliga serier konvergerar eller divergerar. Serier är ofta svåra att analysera direkt. Integraler är ofta lättare.

---

Förutsättningar:

En funktion f är

• kontinuerlig
• positiv
• avtagande

på intervallet \(x \ge 1\).

Påstående:

Då gäller att serien

$$ \sum_{k=1}^\infty f(k) $$

konvergerar om och endast om integralen

$$ \int_1^{\infty} f(x)\, dx $$

konvergerar.

---

Intuition

Om arean under kurvan (integralen) är ändlig, då kan inte summan av rektanglar (serien) bli oändlig. Och omvänt: om arean under kurvan är oändlig, då kan inte summan av rektanglar bli ändlig.

Alltså:

Båda konvergerar, eller båda divergerar.

Varför spelar det roll?

Om en serie konvergerar:

• kan den representera ett tal
• en area
• ett sannolikhetsmått
• en lösning till en differentialekvation
• en funktionsutveckling (Taylor/Fourier)

Om den divergerar:

• går inget av detta.